Mathematical Notation

Propositional calculus

Existem dois valores, "TRUE" ou "FALSO". Uma variavel booleana (ou propositional) deve tomar somente um desses dois valores

Se é uma variavel boolean, nós escrevemos: " é ", ou simplesmente " " para significar " ". Isso generaliza as expressões com valores

Conceito	Símbolo / Notação	Descrição
Valores de verdade	`true`, `false`	Existem apenas dois valores possíveis: verdadeiro e falso.
Variável booleana		Pode assumir apenas os valores `true` ou `false`.
Afirmação “p é verdadeiro”		Significa que .
Conjunção (E lógico)		É verdadeiro somente se e forem ambos verdadeiros.
Disjunção (OU lógico)		É verdadeiro se pelo menos um entre ou for verdadeiro.
Negação (NÃO lógico)	ou	É verdadeiro somente se for falso.
Implicação (SE...ENTÃO)		É verdadeiro se, sempre que for verdadeiro, também for verdadeiro.
Equivalência (SE E SOMENTE SE)		É verdadeiro se e forem ambos verdadeiros ou ambos falsos.

Set Theory

Um conjunto é uma coleção não ordenada de elementos distintos.
Um conjunto é finito se contém um número finito de elementos; caso contrário, é infinito.
Se é finito, sua cardinalidade é denotada por:
Se é infinito, podemos escrever:
O conjunto vazio, denotado por:
é o único conjunto cuja cardinalidade é 0.

Exemplos de notação

O conjunto dos primos de um dígito:
O conjunto dos números naturais:
Se é um conjunto e , significa que pertence a .
Se , significa que não pertence a .

Definição por propriedade

Usando a barra vertical “tal que”:
Outra forma equivalente:

Relações entre conjuntos

Subconjunto:
Subconjunto próprio:
Igualdade de conjuntos:

Operações entre conjuntos

União:
Interseção:
Diferença:

Produto cartesiano

Par ordenado:
Produto cartesiano:
Para potências de conjuntos:

Integers, reals and intervals

O conjunto dos inteiros é denotado por:
O conjunto dos números naturais:
O conjunto dos inteiros positivos:
O conjunto dos números reais:
O conjunto dos reais positivos:
O conjunto dos reais não negativos:

Intervalos reais

Se e :

Intervalo aberto:
Intervalo fechado:
Intervalo semiaberto à direita:
Intervalo semiaberto à esquerda:

Intervalos inteiros

Se e :

Intervalo inteiro:
Cardinalidade do intervalo inteiro:

Functions and relations

Sejam e dois conjuntos. Qualquer subconjunto do produto cartesiano

é chamado de relação.

Quando e , dizemos que está em relação com segundo , denotado:

Exemplo: a relação “ ” sobre os inteiros pode ser vista como o conjunto de pares tal que .

Funções

Uma relação entre e é chamada de função se, para cada , existe um único tal que .

Denotamos:

e escrevemos para o único associado a .

O conjunto é o domínio da função.
O conjunto é o contradomínio (imagem).
O conjunto

é o conjunto imagem ou alcance da função.

Mais geralmente, para :

Tipos de funções

Injetiva (um-para-um):

Não existem dois elementos distintos de com a mesma imagem.
Sobrejetiva (sobre):
Para cada , existe ao menos um tal que .
Equivalentemente:
Bijetiva:
é injetiva e sobrejetiva ao mesmo tempo.
Nesse caso, existe a função inversa:

Predicados

Dado um conjunto , uma função

é chamada de predicado sobre .

Há uma equivalência natural entre predicados e subconjuntos de :

Exemplo: a propriedade “ser ímpar” é um predicado sobre os inteiros.

se é ímpar.
se é par.

Fórmulas Booleanas como Predicados

Podemos interpretar fórmulas booleanas como predicados.

Exemplo:

Neste caso:

Quantifiers

Os quantificadores são símbolos usados para expressar propriedades sobre elementos de conjuntos.

Principais quantificadores

Quantificador	Leitura	Significado
Universal	"para todo"	A propriedade vale para todos os elementos do conjunto
Existencial	"existe"	Existe ao menos um elemento que satisfaz a propriedade
Existência única	"existe exatamente um"	Há um único elemento que satisfaz a propriedade
Existência infinita	"existem infinitos"	Há infinitos elementos que satisfazem a propriedade
Universal infinito	"para quase todos"	A propriedade vale para todos exceto um número finito de exceções

Exemplos

Soma dos primeiros
naturais:
Soma igual a quadrado:
Número composto:
Alternância de quantificadores:
Mas:
é falso, pois não existe um número maior que todos os naturais.

Princípio da Dualidade

Negação do universal:
Negação do existencial:

Predicados

Um predicado é uma função:

Exemplo:

Então:

Sums and products

Considere uma função:

e um inteiro . (Isso inclui funções do tipo como caso especial.)

A soma dos valores assumidos por nos primeiros inteiros positivos é denotada por:

Essa notação é lida como “a soma de conforme vai de 1 até ”.

No caso , a soma é definida como 0.

Soma condicional

Se é uma propriedade dos inteiros, podemos definir:

como a soma dos valores de para os inteiros que satisfazem a propriedade .

Exemplo com notação mista:

Produto

O produto dos valores assumidos por nos primeiros inteiros positivos é denotado por:

Lido como “o produto de conforme vai de 1 até ”.

No caso , o produto é definido como 1.

Notações adicionais

representa o logaritmo do logaritmo de .
representa o quadrado do logaritmo de .

Identidades logarítmicas

Função piso (floor)

A função piso é denotada por:

e representa o maior inteiro menor ou igual a .

Exemplo:

Miscellaneous

Função piso (floor)

A função piso de um número real é:

Ela representa o maior inteiro menor ou igual a .

Exemplo:

Função teto (ceiling)

A função teto de um número real é:

Ela representa o menor inteiro maior ou igual a .

Propriedade:

para todo .

Divisão

Se e são inteiros, então:

representa a divisão de por .

Exemplo:

Operador módulo

O operador módulo é definido por:

Interpretação: é o resto da divisão de por .

Fatorial

Se é um inteiro positivo:

Definição especial:

Fórmula de Stirling

Aproximação para o fatorial de :

Coeficiente binomial

Para inteiros e com :

Representa o número de maneiras de escolher elementos de um conjunto com elementos, sem considerar a ordem.

Tabela de Operadores e Funções Matemáticas

Conceito	Notação	Definição Formal	Exemplo
Piso (floor)		Maior inteiro menor ou igual a
Teto (ceiling)		Menor inteiro maior ou igual a
Divisão inteira
Módulo
Fatorial		com
Stirling (aprox.)		Aproximação para grandes
Coef. binomial		Número de combinações de elementos entre
Soma		Soma dos valores de de até
Soma condicional		Soma dos para os que satisfazem a propriedade
Produto		Produto dos valores de de até
Logaritmo		Único tal que
Mudança de base		Conversão entre bases de logaritmo
Logaritmo duplo		Logaritmo do logaritmo de
Logaritmo ao quadrado		Quadrado do logaritmo de

21 January 2026